Can Koşar

Kategorie: Audiotechnik

Biquad Filter

Biquad Filter sind das Herzstück vieler digitalen Filterimplementierungen.  Es ist -wie der Name sagt- ein „biquadratisches Filter“.  Das heißt, sowohl der Nenner als auch der Zähler sind von der zweiten Ordnung.

Es ist ein Filter mit unendlicher Impulsantwort (IIR=Infinite impulse response). Die IIR-Filter können im Gegensatz zu FIR-Filter (Finite impulse response) instabil werden. Je höher die Ordnung, desto problematischer ist die Stabilität. Doch, die Filter erster und zweiter Stufe sind recht einfach Stabil zu bekommen, bzw. zu berechnen. Genau aus dem Grund sind die Biquad-Filter sehr beliebt. Um Filter höherer Ordnungen zu erreichen, kann man Biquad-Filter kaskadieren. Zudem für viele Standardfilter sind einzelne Biquad-Blöcke vollkommen ausreichend.

Mathematische Beschreibung

Im z-Bereich kann man ein Biquad-Filter folgendermaßen beschreiben:

(1)   \begin{equation*} H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac {b_0+b_1 z^{-1}+b_2 z^{-2}} {a_0+a_1 z^{-1}+a_2 z^{-2}} \end{equation*}

Das führt zur Differentialgleichung:

(2)   \begin{equation*} y[n] = \frac {1}{a_0} (b_0 x[n]+b_1 x[n-1]+b_2 x[n-2] -a_1 y[n-1] - a_2 y[n-2]) \end{equation*}

oder normalisiert durch \frac{1}{a_0} ergibt

(3)   \begin{equation*} y[n] = \frac {b_0}{a_0}  x[n]+\frac {b_1}{a_0} x[n-1]+\frac {b_2}{a_0} x[n-2] -\frac {a_1}{a_0} y[n-1] - \frac {a_2}{a_0} y[n-2]) \end{equation*}

Der Regelkreis der 1. direkten Form sieht folgendermaßen aus.

In dieser Form kann man das Filter implementieren. Eine C++ Funktion könnte so aussehen:

Das heißt, pro Zeitschritt werden 5 Multiplikationen, 4 Additionen und je nach Optimierung des Compilers im Besten Fall 4 Speicherkopiervorgänge gebraucht.

Analogtechnik

Analogtechnik Übersicht

Spannungsverstärkungsstufe (VAS)

Die einfachste Variante, eine Spannungsverstärkungsstufe zu realisieren, ist eine Emitterschaltung. Doch eine einfache Emitterschaltung hat eine hohe Verzerrung, wenn man den Kleinsignalbereich verlässt. Dem kann man mit der Emitterdegeneration entgegenwirken, dadurch sinkt aber die Spannungsverstärkung. Für den geschlossenen Kreis der Class-AB Verstärker wird eine hohe Open Loop Verstärkung A_{OL} und eine hohe Eingangsimpedanz der Spannungsverstärkungsstufe Z_{O, VAS} benötigt.

Emitterfolger

Eine gute Möglichkeit, um dies zu realisieren, ist eine Erweiterung durch einen Emitterfolger,  bzw. die sogenannte Darlington-Konfiguration, (oder auch Beta-Enhancer genannt).

 

Kaskode

Durch eine Kaskodenschaltung wird erzielt, dass die Ausgangsimpedanz des Spannungsverstärker erhöht wird. Dies wird dadurch ermöglicht, dass der Ausgangsstrom deutlich weniger vom Kollektorstrom abhängt.Dadurch wird die Linearität der Spannungsverstärkungsstufe deutlich verbessert.

Eine Kaskode funktioniert so, dass ein zweiter zusätzlicher Transistor Q_2 auf den Kollektor des ersten Transistors Q_1 zuarbeitet bzw. von diesem angetrieben wird. Dafür wird die BasisTransistors Q_2 auf eine Spannung eingestellt, die seine Sperrspannung überschreitet und genügend Reserven für die benötigte Aussteuerbarkeit ermöglicht.

Dies kann realisiert werden, indem eine Diode mit einer Sperrspannung 1-2V zwischen der Basis des Transistors Q_2 und der Referenz anbringt. Die Referenz kann auch der Emitter des Transistors Q_1 sein, da dieser ungefähr auf dem Niveau der Referenz ist.

Um die Aussteuerbarkeit des Transistors Q_2 zu ermöglichen, wird ein höherer Widerstand an die Basis angebracht.

Emitterschaltung (Common-Emitter)

Emitterschaltung ist eine der wichtigsten Bipolartransistor-Konfigurationen. Meistens wird sie zur Spannungsverstärkung verwendet.

Funktionsprinzip

Das Funktionsprinzip mit einem NPN-Transistor ist wie folgt:

Der Name Common-emitter, engl. gemeinsamer Emitter leitet sich von der Tatsache ab, dass sich sowohl das Eingangs- als auch das Ausgangssignal auf das Spannungsniveau vom Emitter beziehen.

Der Verstärkungsfaktor der Spannung beträgt

A=\frac{U_A}{U_E} \approx -\frac{R_C}{R_E},

wobei in dem Fall R_E=re'=\frac{1}{g_m} quasi der innere Emitterwiderstand ist, der von der Transkonduktanz und dadurch von der Temperatur abhängt. Bei der Raumtemperatur kann man von re'\approx 26\Omega ausgehen. Mit der Annahme, R_C=4700\Omega beträgt die Verstärkung

A=\frac{R_C}{re'}=\frac{4700\Omega}{26\Omega}=180

Emitterdegeneration

Die Hauptcharakteristik dieser Schaltung ist, dass sie im Kleinsignalbereich verzerrungsarm funktioniert. Wird der Kleinsignalbereich überschritten, entstehen hohe Verzerrungen und man kann die Schaltung nicht mehr mit dem Kleinsignalmodell beschreiben. Bei großen Schwingungen kann der Kollektorstrom I_C nicht mehr konstant angenommen werden, da er stark mit der Emitterspannung schwankt. Dadurch entsteht ein exponentielles Verhalten zwischen der Eingangsspannung und dem Kollektorstrom (und dadurch der Ausgangsspannung). Um die Verzerrungen, die dadurch entstehen, zu reduzieren, wird ein zusätzlicher Degenerationswiderstand R_{ED} zwischen dem Emitter und der Referenzspannung hinzugefügt.

Dadurch kann der Verstärkungsfaktor annäherungsweise mit

A=\frac{U_A}{U_E} \approx -\frac{R_C}{R_{ED}+re'}

berechnet werden. Beispiel: Um die Degeneration auf ungefähr ein Zehntel zu reduzieren, wird ein Degenerationswiderstand wird einen effektiven Emitterwiderstand von R_E\approx260\Omega gebraucht. Mit dem Widerstand R_{ED}=220\Omega wird es näherungsweise erzielt. Dadurch reduziert sich der Verstärkungsfaktor ebenso auf ein Zehntel:

A_{D}=\frac{U_A}{U_E} \approx -\frac{R_C}{R_{ED}+re'}=\frac{4700\Omega}{26\Omega+220\Omega}\approx 19

 

Differenzverstärker / Subtrahierer

Die erste Stufe eines Class A / AB Verstärkers ist ein Differenzverstärker. Auch die Eingangsstufe und das Herzstück der Operationsverstärker sind Differenzverstärker (Differential amplifier), da diese üblicherweise auf Class AB – Architektur basieren. Die Hauptfunktion der Differenzverstärker ist das Subtrahieren von zwei Signalen. Bei einem Closed-Loop-Verstärker ist der Differenzverstärker die Komponente, die die Fehler der nachfolgenden Spannungs- und Stromverstärkungssstufen kompensiert. Deshalb ist die Qualität der Differenzverstärkerstufe maßgeblich für die Qualität des gesamten Verstärkers.

Es gibt u. a. zwei grundsätzliche Möglichkeiten, einen Differenzverstärker realisieren:

  1. Differenzverstärker mit bipolaren Transistoren (BJT)
  2. Differenzverstärker mit Feldeffekt-Transistoren (FET)

Der Vorteil beim Aufbau mit bipolaren Transistoren ist, dass diese recht unempfindlich für die thermischen Auswirkungen sind. Dafür haben diese aber einen niedrigen Eingangsimpedanz.

Der Vorteil der FETs sind, dass diese sehr hohen Eingangsimpedanz besitzen und dadurch besser für die Verstärkung kleinerer Signale bzw. Ströme eignen. Beim Aufbau der (guten) Operationsverstärker sind deshalb verbreiteter. Der Hauptnachteil der FETs besteht darin, dass diese eine große Streuung bei thermischen Eigenschaften besitzen. Dadurch sind die FET-Differenzverstärkern für diskreten Aufbau eher ungeeignet, da es schwieriger ist, die thermischen Ungleichheiten beider FETs auszugleichen. Auf integrierten Schaltungen sind diese Effekte viel besser beherrschbar, da v. a. die Transistoren in demselben Chip sind, wo die thermischen Effekte gleichmäßiger sind.

Um die negativen Einflüsse der thermischen Effekte zu reduzieren, werden bei einem diskreten Aufbau beide Transistoren des Differenzverstärker physisch nah realisiert. Dadurch wird versucht, dass die thermischen Effekte zumindest auf beide Transistoren wirken und kompensiert werden.

Funktionsprinzip der beiden Varianten ist gleich. Da diese Artikelserie sich auf den diskreten Aufbau der Schaltungen basiert, werden im folgenden die Differenzverstärker mit bipolaren Transistoren erläutert.

Funktionsprinzip

Wenn an beiden Eingängen die gleiche Spannung anliegt, ist sind die Ströme und somit Kollektorspannungen an beiden Zweigen gleich . Dadurch entsteht keine Spannungsdifferenz an beiden Kollektoren. Somit gilt I_{C1}=I_{C2}=\frac{I_E}{2}.

Eine Vereinfachung der Konstantstromquelle ist ein Widerstand. D.h. eine funktionierende Schaltung würde so aussehen.

Dimensionierung

1. Arbeitsstrom I_E der Stromquelle festlegen

Hier spielen u. a. zwei wichtige Faktoren eine Rolle:

a) Die Differenzstufe eines Verstärkers steuert eine Spannungsverstärkungsstufe.  Man kann sich vorstellen, dass die Ausgangsimpedanz des Differenzverstärkers mit der Eingangsimpedanz des Spannungsverstärkers parallelgeschaltet sind. Daher muss die Ausgangsimpedanz des Differenzverstärkers möglichst niedrig (und die Eingangsimpedanz des Spannungsverstärkers möglichst hoch) sein, damit der Differenzverstärkungsfaktor möglichst hoch bzw. der Klirrfaktor möglichst niedrig bleibt. Dies erfordert einen möglichst hohen Arbeitsstrom.

b) Die Transistoren müssen mit möglichst niedrigen Strömen arbeiten, damit der Einfluss der thermischen Effekte reduziert wird. Zudem ermöglichen niedrige Ströme bessere Energieeffizienz.

Unter Berücksichtigung dieser Aspekte kann ein Arbeitsstrom I_E festgelegt werden. Bei einem Spannungsverstärker mit hoher Eingangsimpedanz ermöglicht ein Arbeitsstrom von 1mA bis 10mA eine gute Ausgangsimpedanz und ist dennoch thermisch effizient.

2. Kollektorspannung am Arbeitspunkt festlegen

Bei den Audiosignalen geht es um Wechselspannungen. Daher kann man den Arbeitspunkt als U_{e1}=U_{e2}=0 definieren. Die Kollektorspannungen der NPN-Transistoren schwanken zwischen 0,6-0,7V und U_{S+} Um eine gute Aussteuerbarkeit zu haben, sollte die Spannung am Arbeitspunkt U_{C1} \approx U_{C2}  \approx \frac{U_{S+}}{2} betragen. Bei einem einfachen Widerstand als Stromquelle lässt sich das mit R_{C} \approx R_{E} realisieren. Dadurch kann der Emitterwiderstand R_E sowohl rechnerisch als auch simulativ berechnet werden.

3. Konstantstromquelle realisieren

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, eine Konstantstromquelle zu realisieren, die verschiedene Güte, Aufwand und Komplexität haben. Man kann die Konstantstromquellen ebenso diskret wie durch ICs realisieren. Die einfachste Form von einem einzelnen Widerstand ist für anspruchsvolle Audio-Zwecke nicht ausreichend. Doch mit Hilfe weniger Halbleitern können Stromquellen ausreichender Qualität gebaut werden. Im folgenden ist eine sehr verbreitete Stromquelle gezeigt, die in vielen anspruchsvollen Anwendungen zu finden ist.

Erweiterung durch Stromspiegel

Die obige Schaltung basiert auf den symmetriebedingten Ähnlichkeit der Kollektorströme durch die gleichen Kollektorwiderstände  R_C. Dies kann durch einen Stromspiegel (engl. current mirror) ersetzt werden, um eine aktive Regelung der Kollektorströme I_{C1} \approx I_{C2}, und dadurch eine deutlich höhere Differenzverstärkung zu erzielen. So kann die obige Schaltung folgendermaßen erweitert werden:

Durch die Erweiterung durch Stromspiegel geht allerdings die Symmetrie am Ausgang verloren und es entsteht ein Offset. Dies wird aber im geschlossenen Regelkreis (Closed-Loop) des Verstärkers herausgeregelt.

Degenerationswiderstand am Emitter

Transkonduktanz

Bei der Common-Emitter-Konfiguration ist die Transkonduktanz eine wichtige Größe und definiert das Verhältnis zwischen Basis-Emitterspannung und des Kollektorstroms. Bei einem bipolaren Transistor wird aber der Kollektorstrom durch die Basis-Emitterspannung geregelt. D.h. wenn die Basis-Emitter-Spannung erhöht wird, erhöht sich auch die Transkonduktanz. Das ergibt ein exponentielles Verhältnis zwischen der Basis-Emitter-Spannung und und dem Kollektorstrom. Transkonduktanz kann als

g_m=\frac{I_C}{V_T}

definiert werden. Ein typischer Wert für die thermale Spannung ist 26mV im Raumtemperatur. Die inverse Transkondukanz kann auch als ein effektiver dynamischer Emitterwiderstand re' vorgestellt werden, dessen Wert vom Kollektorstrom abhängt.

re'=\frac{1}{g_m}=\frac{V_T}{I_C}

D.h. zusammengefasst, bei einer normalen Common-Emitter-Konfiguration ist die Verstärkung nicht linear. Je größer die Verstärkung, desto höher ist der Stromdurchlass durch den Kollektor und dadurch ergibt eine Art Verzerrung (engl. degeneration).

Um diese Verzerrung zu reduzieren, kann dieser virtuelle Emitterwiderstand re' mit einem weiteren Emitterwiderstand erweitert werden. bei einem zusätzlichen Widerstand von 220\Omega wird die Degeneration um ungefähr um das 10-fache verbessert. Im Gegenzug wird die (Open-Loop) Verstärkung der Common-Emitter-Konfiguration auf ein zehntel reduziert.

Simulation der Differenzverstärker

Die Differenzverstärker liefern je nach Bauart üblicherweise sehr hohe Open-Loop-Verstärkungen und sind üblicherweise als Subtrahierer in geschlossenen Regelkreisen eingesetzt. Bei der Open-Loop-Simulation muss deshalb beachtet werden, dass sich die Differenzverstärker nur in einem kleinen Bereich der Eingangsspannungen linear verhält. Bei der Verstärkung großer Spannungsdifferenzen ist dieser deshalb schnell gesättigt und nichtlinear. Anbei befinden sich LT-Spice-Simulationen der oben vorgestellten Varianten.

LTSPICE-Datei herunterladen

Nachweise / Literatur

Eine ausführliche Schaltungsanalyse, Klirrfaktoranalyse und die Herleitungen der bipolaren und FET-Differenzverstärker sind u. a. unter

https://home.zhaw.ch/kunr/Elektronik/Skript_MVKuenzli_ab%20SS04/Kap_9.pdf

zu finden. Zudem siehe

 

 

Rechte © 2019 Can Koşar

Mit Unterstützung von Wordpress, QuickLaTeX und Design von Anders NorenSeitenanfang ↑