Can Koşar

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Minimalistische Akustikoptimierung eines kleinen Raums nach LEDE

In diesem Artikel wird die Optimierung eines kleinen Raums erläutert. Konkret geht es hierbei um ein Homestudio, das aus einem kleinen Raum besteht, der sowohl als Regieraum als auch als Aufnahmeraum benutzt wird.

Die Praxis zeigt dem ambitionierten Homerecorder ganz schnell, dass hochwertige Aufnahmen nicht alleine durch hochwertige Equipments erledigt sind und dass ein akustisch optimierter Raum unerlässlich für anspruchsvolle Projektaufnahmen ist. In der Regel muss der Raum für zwei Zwecke dienen:

  • Regieraum („Toter“ Raum)
  • Aufnahmeraum („Lebendiger“ Raum)

Denn hier stehen zwei Anforderungen gegeneinander. Ein sogenannter Regieraum, also der Abhörraum, wo die Musik gehört, gemixt und gemastered wird, muss akustisch trocken sein. Hingegen muss der Raum, wo der Gesang und akustische Instrumente aufgenommen werden, oft lebendiger sein. Die Gesangsaufnahme kann je nach Wunschklang in quasi schalltoten Gesangskabinen oder umgekehrt, in großen Aufnahmeräumen – gar in Jazz-Clubs erfolgen.

Doch für manche Instrumente ist ein komplett toter Raum ungeeignet. Zudem gehört z.B. Akustische Gitarren. Der wahrgenommene Klang einer Akustik-Gitarre setzt sich sowohl aus dem Klang des Schallkörpers als auch dem des Raums.  Deswegen ist ein „voller“ Akustik- oder Konzertgitarrensound nur ein einem lebendigen Raum möglich.


Es lässt sich lange über akustisches Empfinden und den ultimativen Aufnahmebedingungen streiten, denn ich kenne keinen anderen Bereich der Technik, wo die Subjektivität derart im Vordergrund liegt, wie die Psychoakustik. Besonders spürt man das bei den Anwendungen dieser Wissenschaft im künstlerischen Bereich. Während ein Mensch sterile, ausgewogen-harmonische und bis zur Perfektion optimierte Klangbilder angenehm empfindet, empfindet der andere Mensch die sogenannte Liveness, markante, alleinstellende experimentelle Klangbilder angenehm, die einfach anders sind. Und erfolgreiche Aufnahmen gibt’s von beiden dieser Richtungen.

Doch es ist nicht der Gegenstand von diesem Artikel, den ultimativen und absolut richtigen Klangbild, Sound und Aufnahmebedingungen herauszudiskutieren, sondern technische Methoden und Hilfsmittel zu erläutern, die beim Erreichen des eigenen subjektiven Wunschklangbilds helfen.

Als erstes vor dem Gestalten seines Homestudios muss man seine Anforderungen an den Raum klarstellen.  Dazu ist es wichtig zu beantworten:

  • Was für eine Musikrichtung möchte ich aufnehmen?
  • Was für Instrumente möchte ich aufnehmen?

Denn eins ist klar: Ein Homestudio kann kein vollwertiges professionelles Musikstudio sein. Gute Nachricht: Das muss es auch nicht! Denn ein Homestudio muss nicht in der Lage sein, ein Symphonie-Orchester, 15 Bläser, Samba-Trommel-Band und ein Chor gleichzeitig aufzunehmen! Dementsprechend ist die triviale Frage doch sehr wichtig: Was brauche ich denn wirklich? Während der eine rein digital Elektronik-Musik mit viel Low-End aufnehmen will, möchte der andere Acapella-Gesang aufnehmen. Schon mal da sind die Anforderungen an den Raum sehr anders.

In meinem Fall habe ich folgende Anforderungen an den Raum:

  • Er muss für vernünftige Gesangsaufnahmen taugen
  • Er muss für vernünftige Akustikgitarrenaufnahmen taugen
  • Er muss für ein differenziertes und unverfälschtes Abhörverhalten über das ganze Frequenzband geeignet sein.
  • Das Low-End bis ~50Hz ist ausreichend. (Tiefste Instrumente sind Bass-Gitarre und Bass-Drum)
  • Ein Sofa und ein Regal müssen drin stehen.
  • Die akustischen Maßnahmen sollen weniger als 20€ kosten.
  • Er muss besser klingen als die Abbey-Road-Studios.

Wie man sieht, kann man vielleicht am Ende nicht alle Anforderungen 100% erfüllen und da muss der eine oder der andere Punkt Einbuße hinnehmen (besonders der letzte und vorletzte Punkt). Doch das ist nicht schlimm. Wenn man seine Anforderungen klar formuliert hat, hat man den ersten wichtigen Schritt gemacht. Denn das Wichtigste ist, die Raumoptimierung in die richtige Richtung zu treiben. Nur so kann man eines Tages am Ziel ankommen, halbwegs vernünftig klingende Projektaufnahmen zu machen. Dazu braucht es  sicher viel Geld, das dem Homerecorder meist fehlt aber viel wichtiger: Dazu braucht es viel Wissen, das dem Homerecorder ebenso fehlt.  Es ist im Prinzip ein Optimierungsproblem mit Optimierungsgrößen:

  • das Budget, das man zur Verfügung hat,
  • die Güte, die man erreichen will und
  • der (Arbeits- und Lern-) Aufwand, den man hineinstecken will.

So was wird i. a. ein magisches Dreieck  „Zeit-Kosten-Qualität“ genannt. Egal ob ein Profi-Studio, Projektstudio oder ein einfaches  Homestudio, muss sich jeder irgendwo in diesem Dreieck platzieren.  Daher ist es umso wichtiger, das nötige Wissen zu gewinnen und seinen Studioaufbau vernünftig zu planen.

Hier geht’s zum Teil 2 =>

Minimalistische Akustikoptimierung eines kleinen Raums nach LEDE – Teil 2

 

Konzeptauswahl

Ich erwähnte, dass ich den Raum sowohl zur Aufnahme von akustischen Zupfinstrumenten und Gesang, als auch zum Abhören benötige. Dazu gibt es ein Konzept, das Live-End-Dead-End (kurz LEDE) genannt wird.

LEDE-Prinzip (Quelle: Wikipedia)

LEDE-Prinzip (Quelle: Wikipedia)

Eigentlich ist die Technik ursprünglich für reine Regieräume entwickelt. Im Prinzip wird es so konstruiert, dass das Raumende, wo die Stereolautsprecher stehen, auf Absorption, das andere Ende des Abhörens auf Diffusität ausgelegt wird. Das ist ein sehr geeignetes Konzept für ein Homestudio, weil man für die Aufnahme der akustischen Instrumente ebenso eine hohe Diffusität braucht. Das bedeutet, man kann im Live-End auch aufnehmen.

Konkret bedeutet es für mich, an einem Ende des Raums, wo sich die Lautsprecher befinden, Absorber zu platzieren und hinten am anderen Ende die Diffusoren zu platzieren. Der Raum ist um die 12qm groß und hat eine Dachschräge auf einer kurzen Seite. Das ist ein Segen, weil die Wand hinter den Lautsprechern nicht parallel zur hinteren Wand ist und schon mal dadurch Flatterechos reduziert werden.  Der nächste Segen ist, dass diese schräge Wand aus Holz besteht und Abstellraum hinter sich verbirgt. Das hilft sehr bei der Absorption des tiefen Frequenzbereichs. Dazu komme ich später.

Abhördreieck und die Erstreflexionen

Doch es sieht in meinem kleinen Raum nicht nur rosig aus. Sondern, als allgemeines Problem der kleinen Räume, habe ich in diesem kleinen Raum ebenso eine sehr große Bassenergie, die absorbiert werden muss. Zudem habe ich wenig Raum, so dass ich die Lautsprecher nicht so weit weg von den Wänden stellen kann, so dass die Erstreflexionen sehr stark sind.

Nichtsdestotrotz muss ich meine Lautsprecher irgendwo am Vernünftigsten platzieren, sodass mir auch Platz für das „Live End“ bleibt. Die Lautsprecher sind deshalb ungünstigerweise nur um 70cm von der hinteren und seitlichen Wände entfernt positioniert worden. Eine Kante des Abhördreiecks beträgt in dem Fall 160cm. Für meine Studiomonitore (Neumann KH120A) ist ein Abhörabstand von min. 100cm und max. 200cm empfohlen. Dabei bin ich im optimalen Bereich. Doch die Lautsprecher müssen so weit wie möglich von den Wänden entfernt platziert sein.  Am Besten hört man im leeren Weltall ab, wo der Schall nicht von keinem anderen nahen Objekt reflektiert werden kann und man nur die Schallquelle, also Lautsprecher, abhört. Doch selbst die teuersten Studios haben diese theoretische Möglichkeit nicht. Doch ab 2-3m Wandabstand werden die Erstreflexionen deutlich abgeschwächt und sein Anteil im Schalleindruck sinkt erheblich.

Positionierung und Dimensionierung des Abhördreiecks

Positionierung und Dimensionierung des Abhördreiecks

Tieffrequente Schallenergie

Das nächste Problem in meinem Raum ist, dass der zu klein ist, um die im Fachjargon sogenannte „Bassenergie“ zu dämpfen.  Die Wellenlänge des Schalls berechnet sich als:

   =   v / f

wobei    die Schallwellenlänge, v die Schallgeschwindigkeit und f die Frequenz ist. Meine Anforderung an tiefster Frequenz gab ich als 50Hz an. Das ergibt eine Schallwellenlänge von 6,8m ! Ich könnte diese tiefen Frequenzen nicht mal dann dämpfen, wenn ich meinen Raum bis zur Decke voll mit Dämmmaterial füllen würde – egal was für ein teures und überlegenes Dämmmaterial ich benutze! Ohne groß aufwändig mit Dämmkoeffizienten von Materialien die Schalleistungsdämpfung in (dB) zu berechnen und es nach A-B-C-D-Bewertungen zu gewichten etc. pp., weiß ich schon: Ich werde die tiefen Frequenzen nie großartig aktiv und wirksam dämpfen könnenDas ist erst mal ein ernüchterndes Erkenntnis. Doch stellt sich die Frage: Brauche ich das unbedingt? Muss ich wirklich bis zu 50 Hz absolut trocken und frei von Reflexionen abhören? Hat der Mensch eine starke Echo-Wahrnehmung bei tiefen Frequenzen. Dazu werfen wir mal einen Blick in die Bewertung des menschlichen Gehörs:

Akustische Bewertungskurven. Quelle: Wikipedia

Akustische Bewertungskurven. Quelle: Wikipedia

Erst mal haben wir eine recht schwache Wahrnehmung von tiefen Frequenzen. Dementsprechend schwach nehmen wir auch deren Reflektionen wahr. Doch was wir bei tiefen Frequenzen wahrnehmen, ist sozusagen die „Trockenheit“. Da die tieffrequenten Schallwellen schon sehr lange hallen (Im besten Fall 0,2-0,3 s) kann es dazu führen, dass diese beim Abhören im Raum herumschwingen und quasi einen tieffrequenten „Teppich“ legen. Dabei empfindet man die leicht höheren Frequenzbereiche  (100-250 Hz) schwammig und undifferenziert – selbst wenn diese selbst gut gedämpft wären.

Zudem muss man erwähnen, dass die marktüblichen Lautsprecher für den Consumerbereich diese Frequenzen sowieso nicht befriedigend abbilden können und es sowieso viel mehr auf das „bassige“ Klangbild ankommt als auf die Differenziertheit dieses Klangs im Low-End. Das „Schwammigkeitsempfinden“ vom Low-End wird sehr viel vom Dämpfungsverhalten der Sub-Bass-Treiber bestimmt. Hinzu kommt, dass der Consumer die Low-Ends ebenso nicht in einem derart akustisch-optimierten Raum hören wird und die räumlichen Bassreflexionen auftreten werden, selbst wenn man den ultimativen Low-End-Mix gemacht hat.

Lange Rede, kurzer Sinn: Je tiefer die Frequenz, desto schwieriger ist es, diese in einem freien Raum abzubilden. Das gilt auch für Profi-Studios. Zwar können sie tiefere Frequenzen sauber im Raum abbilden, als in Homestudios, aber irgendwann ist auch dort Schluss.

Abhilfe schafft hier der Kopfhörer. Man kann die tiefen Frequenzen mit einem Kopfhörer bewerten. Die Low-Ends sind ohnehin nicht bedeutend für das Räumlichkeitsempfinden.

Doch trotzdem ist es nötig, ein möglichst gleichmäßiges Reflektionsverhalten im gesamten Klangbild zu haben – auch wenn es aus genannten Gründen nicht bis in die tiefsten Frequenzen erreichen kann. Daher formuliert man die Frage: Bis zu welchem Frequenzbereich könnte ich eine Dämpfung erzielen?

Bei der Bedämpfung der Schallreflektionen durch die Wand, muss der Schall das Medium, bzw. das Dämmmaterial nicht nur durchpassieren, sondern auch zurückpassieren. Die relevante Dicke ist daher die doppelte Dicke der Absorptionsplatte. Die marktübliche 10cm dicke Basotectplatte kann Wellenlängen bis 20cm theoretisch nahezu vollständig absorbiert. Das bedeutet eine Frequenz von

f=v/ =340/0.20=1,7kHz

Das bedeutet, die Schallwellen über diese Frequenz, die ins Material eindringen, werden bei üblichen Absorptionsmaterialien wie Basotect, nahezu 100% absorbiert. Die Schallwellen mit tieferen Frequenzen werden geschwächt. Siehe die Messwerte für die frequenzabhängige Absorptionskoeffizient α für die Basotect-Platten mit verschiedener Dicke:

basotect_physical

Wie man aus dem Diagramm erkennt, werden die tieferen Frequenzen stark abgeschwächt. Dadurch kann z. B. eine 10cm dicke Basotect-Platte die Frequenzen bis 500Hz erfolgreich dämpfen. Dickere Platten sind in der Lage, dementsprechend tiefere Frequenzen zu absorbieren.


Drei wichtige Maßnahmen für die akustische Behandlung des Raums sind zusammengefasst:

  1. Breitbandige Absorption der Erstreflexionen
  2. Absorption der Bassenergie
  3. Diffusion der Schallwellen für das Live-End

Raumresonanzen

In der Praxis hat jeder Raum Resonanzfrequenzen bedingt durch seine Geometrie. Diese Frequenzen müssen ermittelt und gezielt gedämpft werden, um ein gleichmäßiges und breitbandiges Dämpfungsverhalten zu erzielen. Durch den Wandabstand der Absorptionsplatten können bestimmte Frequenzen stärker absorbiert werden.

Messtechnik

Im Folgenden wird der Nachhallverhalten des Raums gemessen.

SOFTWARE

Die Messungen werden mit der kostenlosen Software REW durchgeführt, die auf der verlinkten Internetseite heruntergeladen werden kann.

MESSMIKROFON

Um die Raumakustik zu messen, braucht man ein geeignetes Mikrofon mit Kugelcharakteristik. Darüber hinaus muss das Mikrofon eine gleichmäßige Abnahmeverhalten  über dem gesamten Frequenzspektrum besitzen.

Es gibt im Markt kalibrierte kalibrierte Messmikrofone, die einen eigenen Vorverstärker und digitales Interface besitzen, um den absoluten Schalldruck zu messen. Ein kalibriertes Mikrofon, ist das U-MIK 1.

Man hat auch die Möglichkeit, ein Kondensatormikrofon mit der Kugelcharakteristik zu nehmen und selber zu kalibrieren. Dafür braucht man ein Schalldruckmessgerät, wenn man sich für den absoluten Schalldruck interessiert.

MIKROFONVORVERSTÄRKER

Wenn man ein analoges Kondensatormikrofon mit Kugelcharakteristik besitzt, benötigt man einen linearen Vorverstärker, der die Aufzeichnungen unverfälscht an den Wandler überträgt. Die Röhrenpreamps sind dafür eher ungeeignet, da sie oft ein nichtlinerares Verstärkungsverhalten haben. Einfache Transistorvorverstärker sind für den Zweck gut geeignet.

Für die Messungen dienen in meinem Fall als Messmikrofon ein Rode NT2-A mit Kugelcharakteristik und ein Soundcraft Vorverstärker.

WF_bos

Wasserfalldiagramm vom leeren Raum

RT60_bos

RT60 Kurve des leeren Raums

Wie im Wasserfalldiagramm ersichtlich, ist der leere Raum schwache Dämpfung über das gesamte Frequenzspektrum. Der RT60 Kurve pendelt auf 0,5s ein.

RT60 WERT

RT60 (Reverbation time 60dB) Wert ist definiert als die Zeitspanne, in der ein Schallimpuls um 60dB (1/1000) abfällt.

Das Ziel ist eine breitbandige Dämpfung um -60dB pro 300ms. Das bedeutet also ein RT60 Wert von 0,3 s.

Hier geht’s zum Teil 3 =>

Minimalistische Akustikoptimierung eines kleinen Raums nach LEDE – Teil 3

Maßnahmen

Im Folgenden stelle ich meine Maßnahmen vor, um dieses Ziel zu erreichen.

Maßnahme #1: Basotect-Platten an seitlichen Erstreflexionsflächen

Seitenabsorber

Das Anbringen breitbandiger Absorber an seitlichen Erstreflektionsflächen ist die wichtigste Maßnahme zur Hallreduktion vom 200 bis 20kHz. Dadurch sinkt der RT60 Wert unter 0,4s.

RT60 Kurve mit seitlichen Absorbern

RT60 Kurve mit seitlichen Absorbern

Wasserfalldiagramm mit seitlichen Absorbern

Wasserfalldiagramm mit seitlichen Absorbern

Den Abstand der Platten zur Wand habe ich empirisch als 10cm ermittelt, wo ich die Absorption etwas nach unten schieben konnte, ohne zusätzliche Kammfiltereffekte zu erzeugen. Der Hintergrund dafür ist, dass man die Absorber mit einem Abstand zur Wand positioniert, anstatt sie bündig zu montieren. Dadurch werden tieferer Frequenzen gedämpft aber manche höhere Frequenzen werden schwächer gedämpft. Bei der Behandlung bestimmter Frequenzen kann das sinnvoll sein.

Maßnahme #2: Bassabsorber an den Ecken

Die Schallenergie verteilt sich immer unregelmäßig in den Raum. Die Bassabsorber werden üblicherweise in die Ecken und Kanten des Raums gestellt. Der Grund dafür ist, dass man die Raummoden von mit höchstmöglicher effektiver Schallabsorptionskoeffizient dämpfen kann. Hier wird dieser Sachverhalt detailliert erläutert. Empirische Versuche zeigen auch, dass man mit Absorbern in den Ecken und Kanten bessere Bassdämpfung erreicht als deren großflächige Verteilung an Oberflächen.

In diesem Teil wurde empirisch eine optimale Positionierung für einen Bassabsorber in der Raumecke gesucht. Nach verschiedenen Messungen wurden die Bassabsorber Schräg und hochkant an die Ecken gestellt.

Raum mit seitlichen und Eckabsorbern

Raum mit seitlichen und Eckabsorbern

Wasserfalldiagramm

Wasserfalldiagramm

RT60 Kurve

RT60 Kurve

Dadurch sinkt die Nachhallzeit auf gute 0,3s. Zudem werden Bücherregale und Couch an die hintere Wand gestellt, die (zwar weniger effizient als Basotect-Stoff) weitere Bassenergie dämpfen.

Raum mit seitlichen, Eckabsorbern und Bücherregalen

Raum mit seitlichen, Eckabsorbern und Bücherregalen

Zudem wird ein hohes Panel aus Basotect im Raum platziert, um empirisch bestimmte Raummoden zu reduzieren. Nach diesen Maßnahmen sehen die Werte folgendermaßen aus:

RT60 Kurve

RT60 Kurve

Wasserfalldiagramm

Wasserfalldiagramm

Somit erreiche ich um 0,25-0,3 Sekunden Nachhallzeit ab ~130Hz.

Subjektive Hörbewertung: Der Raum hört sich subjektiv viel trockener an – in Höhen fast zu trocken, auch das Low-End bis auf den Subbereich, 100Hz, sehr zufriedenstellend. Doch der Raum hört sich dadurch sehr klein und steril an.

Maßnahme #3: Hintere Diffusoren am Live-End

Absorber haben die Aufgabe, Schall zu dämpfen. Die Diffusoren hingegen haben die Aufgabe, den Schall in verschiedenen Raumrichtungen zu verteilen. Es gibt viele gute Quellen, wo erläutert wird, wie man Diffusoren für einen bestimmten Frequenzbereich berechnen und designen kann. Man kann anstreben, eine optimale Diffusion in einem Frequenzbereich zu erreichen. Der Hauptzweck der Diffusion ist dass sich die Schallwellen durch unregelmäßige Wandtopografie in allen Raumrichtungen verteilen. Dies kann bis zum gewissen Grad auch durch eine zufällige Diffusortopographie erreicht werden. Dafür habe ich unterschiedlich große und tiefe Bücherkästen unregelmäßig an die Wand montiert. Diese habe ich mit Büchern gefüllt, die als eine 2D-Diffusor dienen.

An die Seitenwände hängte ich ebenso unregelmäßig Bilderrahmen, die zwar als Diffusor nicht wirklich effizient sind aber Flatterechos reduzieren, da die Wände parallel zueinander sind und kahle Wände dafür sehr ungünstig sind.

So sieht der Raum nach allen Maßnahmen aus:

Hinten Vorne

 

 

 

 

 

 

Abhörraum: Der Raum klingt beim Abhören nach den Maßnahmen beeindruckend gut bis auf den Sub-Bereich. Es klingt weitestgehend ausgewogen. Mit Hilfe eines Kopfhörers für Sub-Bässe, ist der Raum als Abhörraum sehr zufriedenstellend.

Aufnahmeraum: Der Raumanteil bei Gesangsaufnahmen ist sehr gering und dadurch sehr geeignet für trockene Gesangsaufnahmen. Doch das „Live-End“ ist nicht wirklich lebendig trotz minimalistischer Maßnahmen für das „Dead-End“.  Dadurch ist die Aufnahme der Akustikgitarren weniger zufriedenstellend, da diese sehr dünn klingen. Daher ist eine weitere Absorption im Live-End eher kontraproduktiv.

Zusammenfassung

Mit

  • 6x Basotect-Platten à 100x50x10cm
  • 6x DIY-Kästen für Basotect-Platten
  • 8x Bücherkästen
  • mehreren Bilderrahmen

habe ich mein Homestudio weitestgehend akustisch optimiert, sodass ich einen ansprechenden Abhörraum für Frequenzen ab 100Hz habe. Für komplementäre Beurteilung der tieferen Frequenzen arbeite ich mit einem Kopfhörer – für meine Musik allerdings kaum nötig.

Die Behandlung des Raums für die Frequenzen unter 100Hz ist für meine Verhältnisse unverhältnismäßig aufwändig und eigentlich in dem kleinen Raum kaum möglich. Für meine aktuellen Projekte habe ich es nicht nötig.

Als Gesangsaufnahmeraum taugt der Raum ebenso sehr gut, weil sehr trocken. Doch das wird zum Nachteil bei der Aufnahme der akustischen Gitarren, da dazu die Anforderungen kontrovers sind. In dem kleinen Allzweckraum ist es m.E.  ein äußerst schwieriger Anspruch.

Weitere mögliche Maßnahmen, falls weitere Optimierung nötig wird:

  • Größere, tiefere und höhere Bassfallen an allen Ecken mit Basotect
  • Zielgerichtete Diffusion im Live-End und an der Decke.

Mapping mit Ultraschall

Bei den SLAM-Robotern ist ein robustes Raumerfassungssystem von essenzieller Bedeutung. Bei den Robotern im Haushaltsbereich ist der Kostenfaktor des Raumerfassungssystems ein entscheidendes Kriterium. Die Ultraschall-Distanzmessung ist eine sehr interessante Möglichkeit, den Raum zu erfassen.

Ein analoges Ultraschallmodul für die Distanzmessung kostet bei großen Stückzahlen deutlich unter 1USD, da es eine einfache Elektronik hat und keine Präzisionsherstellung erfordert. Er kann die Objekte im Bereich 0,1m-4m erkennen. Die 1D-Messungen müssen, abhängig von der Roboterkonfiguration, ins Inertialsystem transformiert werden, um die 2D-Raumkarte zu erstellen. Die Schnittstelle HC-SR04 mit Raspberry Pi ist im Teil Schnittstelle Raspberry Pi und HC-SR04 erläutert.

Versuchsaufbau

Der Mapping-Versuch mit Ultraschallsensoren wird in einem vorgemessenen, künstlichen Versuchsraum durchgeführt, siehe Abbildung 1.


Abbildung 1: Versuchsraum

Die Außenmaße des Messraums betragen 3,65m \times 1,7m. Der Roboter führt ein autonomes „Rechtsherumfahrt“ an den Wänden entlang und akquiritiert die 1D-Entfernungsdaten mit der aktuellen Roboterlage. Danach werden diese Daten ins Inertialsystem transformiert und es wird die Raumgeometrie erstellt. Erster Teil des Versuchs ist die einmalige Fahrt und die Interpretation der Messergebnisse. Im folgenden Video wird der Versuchsablauf vorgestellt.

Video 1: Autonome Rechtsherumfahrt für die initiale Kartenerstellung
In der Abbildung 2 ist die dabei erfasste Raumgeometrie dargestellt.

Abbildung 2: Initiale Karte
Wie in der Abbildung 2 erkannt werden kann, können die einfachen Objekte bei solchen einfachen und geschickten Raumgeometrien erfasst werden. Die Stärken und Schwächen der Mapping durch Ultraschall-Technik kann wie folgt zusammengefasst werden.

Verarbeitung der Messdaten für die Erstellung der Raumkarte

Erst müssen die 1-D Distanz-Messdaten aus den Sensoren in das Inertialsystem transformiert werden. Somit werden Punkte im Inertialsystem gewonnen, mit denen Abschätzungen über die die 2-D-Raumkarte gemacht werden können. Dabei werden die Wahrscheinlichkeiten bzw. die Varianzen der ermittelten Punkte berechnet, um die höchstwahrscheinliche Raumkarte abschätzen und nachkorrigieren zu können. Zu diesem Zweck dienen die Hilfsmittel wie vor allem Bayessches Theorem und Kalman Filter, mit denen die Wahrscheinlichkeiten der Messpunkte abgeschätzt und im Algorithmus abgespeichert werden, siehe SlamChoset, SlamSiegwarth.

Das Kalman-Filter kann für die Erstellung der Raumkarte mit mehreren Datenquellen verwendet werden (Sensor Fusion). In dem Quellcodverzeichnis befindet sich eine Beispiel-Implementierung für Kalman-Filter als Python-Code.

Tauglichkeit der Ultraschalltechnik als Haupt-Mappingsystem

Die Ultraschalltechnik ist bei zahlreichen Anwendungen eingesetzt auch als Distanzsensoren. Im Folgenden wird die Tauglichkeit dieser Technik für vorliegende Anwendung, der Indoor-SLAM-Roboter beurteilt.

Die Ultraschallsensoren charaktersieren sich in der Anwendung als Haupt-Mappingsystem mit folgenden Eigenschaften

+ Niedriger Beschaffungspreis
 Großer Öffnungskegel der Ultraschallwellen
Interferenz der Ultraschallwellen
Ablenkung der Ultraschallwellen nach der Reflektion
Geschwindigkeit der Ultraschallwellen / Abtastfrequenz

+ Niedriger Beschaffungspreis

Die Ultraschalltechnik bietet eine sehr günstige Möglichkeit, Distanzen bis zu 4m zu messen.  In Großserie kosten die Sensormodule deutlich unter 1USD.

Großer Öffnungskegel der Wellen

Die Öffnungswinkel der Wellen aus Ultraschalltransmitter beträgt bei HC-SR04 15^\circ bis über 30^\circ.  Das ist eine fataler Nachteil dieser Technik gegenüber manchen anderen optischen Messmethoden. Die Auflösung sinkt deutlich mit der steigenden Entfernung. Die Varianz beträgt bei einer Entfernung von 4m demnach 2,09m, die im 2D-Raum auf einem Kreisbogen des Schallkegels dargestellt werden kann.

Diese Eigenschaft ist wiederrum vorteilhaft bei der Kollisionsverhinderung, wo ein breites Abtasten erforderlich ist.  Daher stellt der Sensor eine gute Möglichkeit als Kollisionsverhinderungssensor dar.

Interferenz der Ultraschallwellen

Das bei diesem Versuch verwendete Ultraschallsensormodul HC-SR04 ist ein nicht-konfigurierbares analoges Modul. Es schickt voreingestellt 8 Sequenzen mit 40Hz. Somit können sich die Wellen, besonders bei nah-positionierten Sensoren, interferieren. Um diese Problematik umzugehen, müssen die Ultraschall-Impulse kodiert werden. Dies erfordert zusätzliche und ggf. teurere Elektronik

Ablenkung der Ultraschallwellen nach der Reflektion

Die Ultraschallwellen können an schrägen oder sonstigen ungünstigen reflektierenden Oberflächen bzw. Objekten abgelenkt werden, sodass die Wellen entweder nicht an den Empfänger zurückkehren oder abgeschwächt werden. In dem Versuch zeigten sich die Messdaten bei den Objekten, die dem Sensor schräger als ~30 stehen, als unbrauchbar. Dazu gehören auch verschiedene Kanten, die der Roboter schräg messen muss. Das stellt auch einen bedeutenden Nachteil dar, da die Räume und Objekte in der Praxis viel komplizierter und ungünstiger sein können.

Geschwindigkeit der Ultraschallwellen / Abtastfrequenz

Die Geschwindigkeit der Ultraschallwellen beträgt  in der Luft \sim342\nicefrac{m}{s} und stellt ebenso ein großes Hindernis in der Verwendung als Haupt-Mappingsystem dar, es eine maßgebende Beschränkung für die Abtastfrequenz ist. Im Versuch zeigten sich Abtastfrequenzen über 2Hz als suboptimal, da die Messfehler bei niedrigeren Leerlaufzeiten drastisch zunehmen.

Bei niedrigen Abtastfrequenzen muss das Beobachtermodell auch präziser definiert werden. Zwar bei einem bewegenden Roboter wird die Lage des Roboters beim Aussenden und Empfangen der Wellen unvernachlässigbar unterschiedlich sein. Dieses Phänomen muss im Modell ebenso berücksichtigt werden.


Zusammenfassung

Aufgrund seinem günstigen Beschaffungspreis ist Ultraschallsensor eine interessante Technik, um kurze Distanzen bis zu 4m zu messen. Als zuverlässiges Haupt-Mappingsystem ist sie aufgrund der Breite und die Geschwindigkeit der Ultraschallwellen eher ungeeignet.  Dennoch bietet er eine interessante Möglichkeit als Kollisionsverhinderungssensor an.

Ausblick

Die optischen Methoden, wie 1D-Laserentfernungsmessungen, die auf Triangulationsprinzip beruhen, sind für die 2D-Kartenerstellung geeigneter und ist der aktuelle Fokuspunkt der Entwicklung des Ropi. Ein weiterer Entwicklunsgegenstand ist der Mapping-Algorithmus auf der Basis von Kalman-Filter.

Ultraschallsensor-Modul HC-SR04 mit Raspberry Pi Schnittstelle

Der preiswerte HC-SR04 Sensor besteht aus einem Ultraschall-Sender und einem Empfänger. Er funktioniert nach dem Prinzip Zeit-Distanzmessung, in dem er eine Reihe von Ultraschallwellen sendet und die Zeit bis zum Wiederempfang der reflektierten Wellen misst. Daraus können Aussagen über die Entfernung des reflektierenden Objekts gemacht werden.

Schnittstelle von Ultraschallsensor HC-SR04 und Raspberry Pi

Im Folgenden ist die Schnittstelle mit Raspberry Pi schematisch dargestellt.
HCSR04_Schema_Steckplatine

Abbildung 1: HC-SR04 und Raspberry Pi Schnitstellenschema

Das Ultraschall-Sensor-Modul ist eine analoges Modul, siehe Datenblatt. Es wird zuerst für min. 10us Spannung an Trigger gelegt. Danach sendet er über Transmitter acht Rechteck-Zyklen Ultraschall-Wellen mit 40Hz. Ab dieser Zeit schaltet er den Ausgang (Echo) ein und wartet auf die reflektierten Wellen. Sobald die Welle wieder am Receiver gehört wird, schaltet er den Echo wieder aus.

Elektronik

Die Eingangs- sowie Ausgangsspanunng von HC-SR04 beträgt 5V. Die Input Pins von Raspberry Pi können eine maximale Spannung von 3,3V erfassen. Daher muss die Ausgangsspannung mit einem Spannungsteiler reduziert werden.

Eine weitere Beschränkung ist der Strom, den Raspberry Pi aufnehmen soll. Der „Sink“ soll üblicherweise nicht höher als 0.5mA betragen. Das muss bei der Widerstandsauswahl berücksichtigt werden. Die Widerstände der Spannungsteiler können nach

(1)   \begin{equation*} \frac{U_E}{U_A}=\frac{R_1+R_2}{R_2} \end{equation*}

berechnet werden. Daraus ergibt sich das Verhältnis zwischen den Widerständen als

(2)   \begin{equation*} \frac{R_1}{R_2}=\frac{1,7}{3,3}\text{.} \end{equation*}

Wenn der Pulldown-Widerstand R_2 als 10k\Omega gewählt wird, soll demnach der Pullup-Widerstand R_1=5,\overline{15}k\Omega betragen. Der Spannungsteiler mit handelsüblichen 10k und 5k1 Widerständen gibt in Praxis mit Verlustwiderständen am Echo eine Ausgangsspanung von 3,25V. Das ist in dem sicheren Bereich der empfohlenen Eingangsspannung für Raspberry Pi.

Datenverarbeitung mit Python

Der Ablauf des Algorithmus ist, dass zuerst kurz einen Impuls an Trigger gegeben und unmittelbar danach die Zeit gemessen wird, in der am Ausgang (Echo) Spannung liegt. Da diese Zeitmessung analog erfolgen und ausgewertet werden muss, läuft das Programm, das einen Ultraschallmodul auswertet in Schleife. Daher muss die Auswertung des Ultraschalls in einem parallelen Prozess oder Thread laufen und zwar es muss für jeden Ultraschall-Sensor ein eigener Prozess laufen. Im Folgenden wird dazu ein Python-Programmcode beigefügt, in dem beliebig viele Ultraschallmodule durch Multithreading parallel ausgewertet werden und mit dem Hauptalgorithmus kommunizieren können.

Im Datenblatt von HC-SR04 wird eine Leerlaufzeit (Settle time) von min. 60ms empfohlen. Die Leerlaufzeit zwischen den Zyklen variiert je nach Anwendung und Messbereich. Die empfohlene Zeit von 60ms hat sich bei der Raumerfassung als zu niedrig herausgestellt, da die Wellen bei Distanzen über 3m nachhallen und die Receiver störanfälliger werden. Als akzeptabel haben sich die Leerlaufzeiten von ab 300ms herausgestellt. Dieser Umstand reduziert die Abtastfrequenz drastisch.

Hingegen spielt die Triggerzeit wenig Rolle bei der Anwendung mit Raspberry Pi, da der Prozessdauer des sequentiellen Ein- und Ausschaltens des Trigger-Pin schon länger als die erforderliche Trigger dauert. Im vorliegenden Fall ist die Sleep-Time für das Triggern überflüssig und könnte übersprungen werden.

Die Raum-Mapping mittels Ultraschallsensoren HC-SR04 ist in diesem Teil vorgestellt.

Übersicht der Elektronik

In der Abbildung 1 ist eine Übersicht der Elektronik vorgestellt. Die mechanische Bauform des Roboters ist in dem Teil Beschreibung der Kinematik detailliert erläutert. Aus Flexibilitätsgründen und um die vielfältige Versuche zu ermöglichen, wurde die Elektronik auf Basis einer Steckplatine aufgebaut. In der unten beigelegten Fritzing-Datei (.fzz) ist bereits ein Schema dargestellt, aus der man PCB-Leiterplatinen entwickeln kann. Als Mikrocontroller dient ein Raspberry Pi 2 Model B mit dem Betriebssystem Raspbian Wheezy, eine für die Raspbbery Pi optimierte Debian-Distribution.

Abbildung 1: Übersicht der kompletten Verdrahtung
 

Fritzing Datei (.fzz) für die Steckplatine und PCB herunterladen
Der Gegenstand aktueller Untersuchungen mit „Ropi“ ist die Forschung der Möglichkeiten eines mobilen Roboters mit günstigen, serienhergestellten und aktuell-marktüblichen Sensoren und Aktoren. Zudem werden die Schwächen und Verbesserungsmöglichkeiten der marktüblichen Aktorik und Sensorik untersucht und eine Marktanalyse der relevanten Komponenten durchgeführt.

Mikrocontroller Raspberry Pi 2 Model B

Raspberry Pi 2 Model B ist ein beliebter Einplatinen-Computer, der ab 2006 entstanden ist, um eine preiswerte Hardware bzw. Computer für die angehenden Informatik-Studenten zur Verfügung zu stellen 1. Der Computer im Kreditkartenformat wird heute aufgrund seines Preis/Leistungsverhältnisses vielseitig verwendet. Weiterlesen

A/D Wandler MCP 3008

Der MCP3008 ist ein 8-kanäliger, schneller und energieeffizienter Analog-Digital-Wandler, der für die Embedded-Regelungsapplikationen gut geeignet ist. Er kann mit Raspberry Pi über SPI-Port kommunizieren.Weiterlesen

Gyrometer/Accelerometer (IMU) MPU6050

Der als Initial-Measurement-Unit (IMU) vermarkteter MPU6050 ist ein kombinierter Gyro-/Accelerometer-Sensor, der einen eingebauten Bewegungsprozessor hat. Er dient gerade in vielen Hardware als IMU, wie Smartphones/Tablets etc. und ist dadurch ein sehr weit verbreitetes und preiswertes Sensormodul. Weiterlesen

Motorsteuerungsmodul L293N

Der L293N ist ein auf den Verstärker L293 von Texas Instruments aufgebauter Motortreiber, der gleichzeitig 2 Motoren steuern kann. Er eignet sich für die Steuerung und Taktung von DC- sowie Stepper-Motoren. Weiterlesen

DC-Bürstenmotor Mottrax X-Train FFK-265 mit 1/50 Untersetzungs­getriebe

Hierbei handelt es sich um einen preisgünstigen und marktüblichen Modellbau-Bürstenmotor, der von 4V bis 14V stufenlos betrieben werden kann. Der Motor zeichnet sich mit seinem niedrigen magnetischen Störverhalten aus. Weiterlesen

Gabelllichtschranke TCST2103

Der TCST2103 ist ein optischer Inkrementellzähler, eine sogenannte Gabellichtschranke, die aus einer Infrarotstrahler und einem Fototransistor besteht.Weiter­lesen

Ultraschall Distanzmesser HC-SR04

Der preiswerter HC-SR04 Sensor besteht aus einem Ultraschall-Sender und einem Empfänger. Er funktioniert nach dem Prinzip Zeit-Distanzmessung, in dem er eine Reihe von Ultraschallwellen sendet und die Zeit bis zum Wiederempfang der reflektierten Wellen misst. Daraus kann man Aussagen über die Entfernung des Reflektorobjekts machen. Weiter­lesen

Kalibration der Positionierung nach UMBMark

Bereits in den früheren Arbeiten von Borenstein und Feng, wurde diskutiert, wie die Positionfehler entstehen und systematisiert werden können, siehe BorensteinFeng94 und BorensteinFeng96. Dabei wurden sie die Fehler in zwei Klassen betrachtet.

Systematische Fehler

Zu dieser Gruppe gehören die Fehler, die durch systematischen und beobachtbaren ggf. auch beeinflussbaren Phänomenen entstehen. Hierzu gehören u.a. die Kalibrierungsfehler, kompensierbaren Fehler wie Temparatureinflüsse, Konvertierungsfehler, Durchdrehen der Räder und sonstige Ungenauigkeiten in der Parametrierung. Die systematischen Fehler sollten demnach die vermeidbaren Fehler sein. Um diese zu vermeiden, wurden Kalibrierungsprozeduren wie UMBMark entwickelt. Bei diesen Methoden geht’s um die systematischen Tests, wobei die Fehler addiert und sichtbar bzw. messbar gemacht werden. Eine dazugehörige Messprozedur ist die Quadraturfahrt in Schleife im und gegen den Uhrzeigersinn. Nach bestimmter Anzahl an Durchläufen in und gegen Uhrzeigersinn bilden sich Tendenzen für die Drifting-Richtungen. Diese Tendenzen werden danach versucht, durch Kalibrierung zu minimieren.

Unsystematische Fehler

Unter den unsystematischen Fehler werden die Fehler klassifiziert, die durch Stochastik entstehen (z.B. Unebenheiten des Bodens), die durch bekannte Phänomene nicht erklärt oder zumindest nicht beeinflusst werden können. Dazu gehören u.a. verschiedene Messfehler, Ungenauigkeiten in den Messgrößen, die durch verfügbare Messtechnik nicht gemessen werden können.


In der Abbildung 1 wurde eine Schleife der Quadraturfahrt aufgenommen, worin die Fahrt nur mit der Odometrie und mit der Sensorfusion mit der Gyrometrie gegenübergestellt. Hierbei gelte die Messung mit der Gyrometrie, wonach der Roboter auf die Sollkurve geregelt wurde als Beobachter bzw. Referenzgröße. Man erkennt hierbei schon bei der ersten Schleife, dass die Positionierung mit der reinen Odometrie in x-Richtung eine deutliche Drifting hat. Zudem dreht sich der Kreis nach Links. Dies entsteht durch die besonders hohe Abweichungen in der Winkelberechnung durch die reine Odometrie, siehe dafür Teil Zustandsbestimmung durch reine Odometrie.


Abbildung 1: Konzeptvergleich am Quadraturfahrtzyklus

Die Tendenz der vorliegenden Fahrt ist leichte Rechtssteuerung, die der Regler gegensteuern muss. Die kleinen Winkelshifts neigen z.B. daran das Quadrat nach links zu verdrehen. Die systematischen Fehler entstehen u.a. aus die Linkssteuerung. Werden die Motoren dementsprechend kalibriert, verschwindet diese Tendenz.

Bitte beachten Sie, dass die Abweichung des grünen Pfads von der Solltrajektorie nicht die Abweichung der Positionsmessung mit der Odometrie und Gyrometrie darstellt, sondern lediglich Reglerabweichung ist.

Die Kalibrierung des Roboters, der nur durch die Odometrie positioniert wird, ist allerdings nicht der Gegenstand meiner folgenden Arbeit. Im Folgenden wird sowohl Odometrie mit der Gyrometrie fusioniert.

Der Gyrometer hat eine hohe Genauigkeit in der Messung der Orientierung und dadurch kann sogar die Abweichung durch die Auflösung der Odometrie zum gewissen Teil kompensiert werden, siehe Teil Zustandbestimmung durch Odometrie und Gyrometrie.

Es gilt daher den Roboter mit beiden Sensoren zu kalibrieren. Dazu wird ein anderer Beobachter gebraucht. Die Kalibrierungsgrößen (x-Position, y-Position und die Orientierung können nach der Kalibrierungsschleife als Abweichung vom Ausgangszustand gemessen werden. Es wäre auch möglich z.B. optisch durch eine Kamera die komplette Fahrt aufzunehmen und vergleichen, nur für die Kalibrierung bzw. die Beobachtung der summierenden Phänomenen reicht auch der Vergleich vom End- und Ausgangszustand.

Abbildung 2: Kalibration nach UMBMark

Bei den ersten Kalibrierungsschleifen kam es, dass der Roboter etwas größere Quadrate zeichnet, nach der Kalibrierung der Odometrie zeigten die folgenden Kalibrierungsschleifen, dass die systematischen Fehler durch die Spreizung der unsystematischen Fehler unerkennbar bleiben. Eine eindeutige Driftingsentwicklung unerkennbar sind, bzw. es sich keine Drifting in eine bestimmte Richtung entwickelt. Die Abbildung 3 zeigt die Kalibrierungsschleife mit fünf Durchläufen.


Abbildung 2: Kalibration nach UMBMark mit 5 Schleifen rechtsherum

Dennoch sind die unsystematischen Fehler bzw. Varianz der Abweichungen hoch. Das wird u.a. durch folgende Zustände verursacht:

  • Die mangelnde Auflösung der Odometrie und daraus resultierende Fehler, die nicht konsequent auf eine Drifting wirken
  • Das Spiel im (Plastik-)Getriebe und Radaufhängung
  • Durchdrehung bzw. mangelnder Haft der Räder

Die grösste Fehlerquelle im vorliegenden Fall ist die Abweichungen, die durch die mangelnde Auflösung der Odometer enstehen.

Die Fehler bleiben bei der aktuellen Konfiguration auf kurzen Strecken von bis zu 10m im Bereich von <3cm in x– und in y-Richtung, welches für die weiterführenden Untersuchungen akzeptabel ist. Der Orientierungsfehler ist mit der zur Verfügung stehenden Messtechnik unmessbar klein \sim 0 ^\circ.

Bei der Rechtsschleife erkennt man, dass die Motoren nach rechts steuern. Bei der Linksschleife erkennt man allerdings, dass die Motoren nach links steuern. Dieses Phänomen beruht auf einem Hardwareproblem, dass das (Plastik-)Getriebe nach der Richtungswechsel sehr erhöhte Reibung aufweist, die der Motor überwinden muss. Prinzipiell könnte dies als ein systematischer Fehler betrachtet werden, der hardwareseitig optimiert werden kann.

Quellcodes

Der Code steht hier zum herunterladen. Die Kommentierung in den Codes ist und bleibt Englisch. Die Dokumentation vervollständige ich nach und nach. Das Projekt „Ropi“ inkl. Dokumentation und Bilder stelle ich unter Creative Commons (CC0 3.0) für nichtkommerzielle Zwecke frei. Fühlen Sie sich frei den Code zu verwenden oder weiterzuentwickeln. Bei Fragen schreiben Sie gerne an info@cankosar.com.

Quellcodes

Ropi_Sourcecode_v0.1

Positionsregelung auf Basis einer Solltrajektorie

Hierbei wird eine Solltrajektorie konstruiert und die Lagegrößen des Roboters, also Position und Orientierung, auf diese Solltrajektorie geregelt. Die Regelung erfolgt im Folgenden mit einem PD-Regler, da das integrale I-Glied durch die Addierung der differentiellen Bewegungen bereits mitbeinhalten ist und die Fehler der Lagegrößen sich summieren. Ein typischer Regelkreis sieht wie in der Abbildung 1 aus.

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Abbildung 1: Standardregelkreis

Das Diagramm stellt einen typischen Regelkreis mit Rückführung dar. Hierbei stellt der Regler anhand der Einganggröße Regelabweichung e(t) die Stellgröße u(t). Hierbei ist die Regelgröße die IST-Position des Roboters

(1)   \begin{equation*} \mathbf{y}(t)=\begin{bmatrix} r_1^G\\r_2^G\\\gamma^G \end{bmatrix} \end{equation*}

und die Führungsgröße die Soll-Position, also die Soll-Trajektorie

(2)   \begin{equation*} \mathbf{w}(t)=\begin{bmatrix} \bar{r}_1^G\\\bar{r}_2^G\\\bar{\gamma}^G \end{bmatrix}\text{,} \end{equation*}

die der Roboter nachfahren muss. Daraus ergibt sich der Messfehler

(3)   \begin{equation*} \mathbf{e}(t)=\mathbf{w}(t)-\mathbf{y}(t)\text{.} \end{equation*}

Die Regelgleichung des idealen PD-Reglers im Zeitbereich kann dann als

(4)   \begin{equation*} \mathbf{u}(t)=\mathbf{K}_P^T[\mathbf{e}(t)+\mathbf{T}_V\frac{d}{dt}\mathbf{e}(t)] \end{equation*}

formuliert werden, wobei der Vektor \mathbf{K}_P der Verstärkungsvektor und der \mathbf{T}_V die Zeitkonstante ist, die das D-Glied parametrisiert. Die Stellgrößen, die hierbei eingestellt werden, sind die Spannungen der beiden Motoren

(5)   \begin{equation*} \mathbf{u}(t)=\begin{bmatrix} V_{RR}\\V_{RL}\text{.} \end{bmatrix} \end{equation*}

Der ideale PD-Regler genügt hierbei nicht ganz den Anforderungen, da das reale System sowohl software- als auch hardwareseitige Verzögerungen aufweist. Wenn man ein PT-Glied in den PD-Regler integriert, erhält man

(6)   \begin{equation*} \mathbf{T}_1\frac{d}{dt}\mathbf{u}(t)+\mathbf{u}(t)=\mathbf{K}_P^T[\mathbf{e}(t)+\mathbf{T}_V\frac{d}{dt}\mathbf{e}(t)]\text{,} \end{equation*}

wobei die Matrix \mathbf{T}_1 für die Verzögerungszeitkonstante steht. Die Bewegungsgleichungen des Roboters lassen sich i.a. als

(7)   \begin{equation*} \mathbf{M}\ddot{\mathbf{y}}(t)+\mathbf{D}\dot{\mathbf{y}}(t)+\mathbf{K}\mathbf{y}(t)=\mathbf{F}(t) \end{equation*}

schreiben, wobei \mathbf{M} die Massenmatrix, \mathbf{D} die Dämpfungsmatrix, \mathbf{K} Steifigkeitsmatrix und \mathbf{F}(t) die Matrix der äußeren Kräfte sind. Um die Bewegungsgleichungen als differentielle Gleichungen ersten Grades zu beschreiben, werden diese im Zustandraum dargestellt. Die Zustandsgleichung lautet i.a.

(8)   \begin{equation*} \mathbf{A}\dot{\underline{\mathbf{x}}}+\mathbf{B}\underline{{\mathbf{x}}}=\underline{\mathbf{p}}(t)\text{.} \end{equation*}

Mit dem Zustandvektor

(9)   \begin{equation*} \underline{{\mathbf{x}}}(t)=\begin{bmatrix} \mathbf{y}\\ \dot{\mathbf{y}} \end{bmatrix} \end{equation*}

und dem erweiterten Kraftvektor

(10)   \begin{equation*} \underline{{\mathbf{p}}}(t)=\begin{bmatrix} \mathbf{F}(t)\\ \mathbf{0} \end{bmatrix} \end{equation*}

lassen sich die Systemmatrix A als

(11)   \begin{equation*} \mathbf{A}=\begin{bmatrix} \mathbf{D}& \mathbf{M}\\ \mathbf{M}& \mathbf{0} \end{bmatrix} \end{equation*}

und die Eingangsmatrix \mathbf{B} als

(12)   \begin{equation*} \mathbf{B}=\begin{bmatrix} \mathbf{K}& \mathbf{0}\\ \mathbf{0}& \mathbf{-M} \end{bmatrix} \end{equation*}

formulieren. Im konkreten Fall des Roboters bietet sich die Vereinfachung an, bei der Ermittlung der Massenmatrix die Form als Zylinder anzunehmen. Die Dämpfungsmatrix, sowie die Steifigkeitsmatrix wurden emprisch ermittelt.

Ausblick: Die Parameteroptimierung für den Regler wurde noch nicht methodisch durchgeführt und ist ein anstehender Punkt im Roadmap.

Positionsregelung des nichtholonomen Roboters

Bereits in vorherigen Teilen wurde gezeigt, dass der Roboter als ein nichtholonomes Mehrkörpersystem modelliert wird. Durch die Nichtholonomität können die Lagegrößen, in dem Fall Position und Orientierung in Ebene, nicht direkt geregelt werden. Das bedeutet,er kann z.B. nicht direkt seitlich gestuert werden, sondern er muss sich zuerst drehen, gerade aus fahren und nochmals drehen, um eine seitliche Bewegung auszuführen. Dieses Problem kennen wir auch von Autos mit lenkbarer Vorderachse. Wenn man in eine Parklücke fahren möchte, kann man nicht immer aus jeder Position heraus mit einer direkten Bewegung in die Parklücke fahren. Manchmal sogar, wenn die Parklücke nicht groß genug ist, kann das Parken unmöglich werden, obwohl diese theoretisch genügend Platz bietet, denke man an eine Parklücke, die nur 1cm länger ist, als das Auto.

Bei der Regelung nichtholonomer Roboter gibt es grundsätzlich zwei Strategien, siehe Oubbati09.

Direkte Regelung

Die Lagegrößen werden dauerhaft direkt auf den Zielzustand, analog zur Regelung eines holonomen Systems geregelt. Dabei kann es nicht sichergestellt werden, dass die Regelung der Lagegrößen erfolgreich wird. Für manche Anwendungen könnte es funktionieren, in unserer Anwendung ist diese Strategie unbrauchbar.

Regelung auf eine Solltrajektorie

Hierbei wird eine Solltrajektorie konstruiert, die der nichtholonome Roboter fahren kann und zum Zielzustand führt. Beim Auto-Parken machen wir es im Prinzip genauso, dass wir von unserer aktuellen Position aus eine Solltrajektorie überlegen, die wir fahren sollen, um in die Parklücke hereinfahren zu können. Erstens ist es in unserer Anwendung sehr hilfreich, da der Roboter durch seine runde Bauform in jede Position hineingelingen kann, solange es dafür eine Solltrajektorie existiert (bzw. gefunden werden kann) und diese breit genug ist, dass der Roboter durchpasst. Zweitens ist das Fahren bestimmter Trajektorien für den Einsatz als mobiler Haushaltsroboter (z.B. Saugroboter) erforderlich ist. Daher ist die Regelung auf eine Solltrajektorie die geeignete Strategie für meiste Anwendungen.

Nächster Teil: Regelung auf eine Solltrajektorie

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